D’après ce que nous avions précédemment dit concernant les nombres impairs, nous remarquons que le secret de la formation des nombres impairs réside dans la famille de suite de type pab+a+b avec p, a, b des entiers naturels non nuls. Ainsi, nous définissons les deux suites des nombres impairs qui sont la suite U(n,m) = nm+1 et la suite V(n,m) = nm-1, avec m un entier naturel positif non nul et n un entier naturel positif pair.
Dans cette expression définie U(n,m) = nm+1, n et m ont une signification particulière dans la représentation élienne des nombres. n est la base dans la représentation élienne et m est le rang du nombre impair. Par exemple dans la base 2, nous avons U(2,1) = 3. Cela veut dire tout simplement que 3 est le premier nombre impair de la base 2 de la représentation élienne. Un autre exemple est U(4,1) = 5. Dans ce cas 5 est le premier nombre impair de la base 4 de la représentation élienne. Un autre exemple: U(2,3) = 7 veut dire que 7 est le troisième nombre impair dans la base 2 de représentation élienne.
Maintenant, nous avions parlé des deux catégories de nombres impairs. Nous avons les nombres impairs parfaits qui sont les nombres premiers et les nombres impairs imparfaits qui sont les nombres impairs non premiers. Les nombres impairs parfaits ou premiers s’écrivent U(n,m) = nm + 1 avec son rang m ne se mettant pas sous la forme nab+a+b ou nab-a-b, avec n étant la base et a et b des entiers naturels non nuls et pour la forme nab-a-b, il faut que a et b soient strictement supérieurs à 1 lorsque n = 2, pour les autres n, il suffit juste que a et b soient des entiers naturels non nuls. Si le rang m est de la suite nab-a-b ou nab+a+b, U(n,m) n’est pas un impair parfait ou premier.
De même pour V(n,m), les nombres impairs parfaits ou premiers peuvent s’écrire V(n,m) = nm – 1 avec le rang m ne se mettant pas sous la forme nab+a-b où n étant la base et a et b des entiers naturels non nuls. Si le rang m est de la suite nab+a-b alors V(n,m) n’est pas un impair parfait ou premier , c’est un impair imparfait ou non premier.
Par exemple dans la base 2 nous avons:
U(2,1) = 3 U(2,6) = 13 U(2,11) = 23
U(2,2) = 5 U(2,7) = 15 U(2,12) = 25
U(2,3) = 7 U(2,8) = 17 U(2,13) = 27
U(2,4) = 9 U(2,9) = 19 U(2,14) = 29
U(2,5) = 11 U(2,10) = 21 U(2,15) = 31
Dans cet exemple, U(2,4), U(2,7), U(2,10) ne sont pas premiers puisque les rangs 4, 7, 10 sont les termes de la suite 2*a*b+a+b
Vous remarquerez que pour les autres nombres impairs dans cet exemple dont les rangs ne peuvent pas s’écrire sous la forme 2*a*b+a+b, ils sont des nombres impairs parfaits ou premiers.
Nous pouvons dresser alors une liste à l’infini des nombres impairs imparfaits et des nombres impairs parfaits selon leur base et nous pouvons savoir s’ils sont parfaits ou premiers ou imparfaits en vérifiant juste le rang du nombre impair.
Avant de nous attaquer à la décomposition des nombres imparfaits impairs, nous devons faire quelques remarques concernant la représentation élienne des nombres.
Il y a une condition d’existence pour U(n,m) qui est que m >= n-2. Et pour V(n,m), il faut que m >= n.
U(n,m) = U(m,n) si n et m sont tous des entiers pairs
U(n,m) = U(r,s) si nm = rs
U(n,m) = U(2n,m/2)
U(cn,m/c) = U(n,m), c est un diviseur de m différent de m et de 1
U(2an,2bm) = U(2a+bn,m) = U(2a+bm,n)
U(n,m) = 1+nm, nm est un nombre pair imparfait de la forme 2ab sachant que a est un entier naturel positif quelconque et b un nombre impair imparfait, avec n étant aussi un nombre pair imparfait de la même forme.
Ainsi la décomposition est facile, si nous connaissons n et l’expression de m. Mais dans le cas contraire comment procéder ? C’est à dire dans le cas où on connaît juste le nombre impair. Par exemple, soit le nombre quelconque q = 149275183091, essayons de le décomposer en nombres impairs parfaits.
Si q est un nombre impair imparfait décomposables en facteurs, les équations U(n,m) = q et V(n,m) = q ont au moins une solution.
Dans la base n=2, nous avons m = (q-1)/2 = 74637591545. Maintenant nous devons connaître l’expression de m. Nous avons m = 2ab+a+b.
ab = (q+1 – racine(4q + 4r2))/4 et a+b = m – 2ab
Nous ne connaissons pas la valeur de r pour calculer ab. Il faut noter que r = a – b.
Comment trouver r ? r est l’entier naturel positif tel que q + r2 soit un carré parfait avec r < (q-1)/2.
Nous pouvons trouver r en faisant varier r de 0 à (q-1)/2 et calculer q + r2 jusqu’à ce qu’on tombe sur le carré parfait. Mais il doit y avoir une méthode très simple pour trouver r d’un seul coup. Je travaille sur ce point et je publierai cela dans mon livre sur les nombres.
Maintenant, en faisant varier r on tombe sur le premier candidat proche est r = 74855.
En calculant on trouve ab = 37318599000 et a + b = 393545.
On en déduit en a = (r + a + b)/2 et b = (a + b – r)/2
a = 234200 et b = 159345
Par conséquent q = (2*159345+1)(2*234200+1) = 318691*468401 = 149275183091
On continue la décomposition en décomposant aussi 318691 et 468401.
Concernant la décomposition, elle devient très gourmande en temps de calcul pour les grands nombres si on cherche r en tâtonnant. Mais le graal de toute cette activité mathématique prophétique est de trouver d’un seul coup r. Je travaille de manière acharnée là dessus et je publierai mes résultats dans le livre sur les nombres.
Maintenant essayons de donner les expressions des suites des nombres impairs premiers. Rappelons que d’après le critère de Moïse les deux suites des nombres impairs imparfaits non premiers peuvent être écrites de cette manière:
U(p,n,m) = p2n + pm + 1 avec la condition du discriminant D = m2 – 4n, D doit être un carré parfait, et p est un entier naturel pair parfait ou non parfait.
V(p,n,m) = p2n + pm – 1 avec la condition du discriminant D = m2 + 4n, D doit être un carré parfait, et p est un entier naturel pair parfait ou non parfait.
Concernant les entiers n et m, n doit être un entier naturel positif et m peut être un entier relatif. Il faut juste que la condition sur le discriminant soit assurée avec p étant un entier naturel pair positif parfait ou non parfait.
J’ai aussi remarqué que le terme parfait n’est pas approprié pour mes nombres donc je vais plutôt utiliser les termes purs et impurs pour désigner mes nombres. Dans le jargon des mathématiques, wikipedia https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_parfait affirme que « en arithmétique, un nombre parfait est un entier naturel égal à la moitié de la somme de ses diviseurs ou encore à la somme de ses diviseurs stricts. »
Nous pouvons voir dans notre développement qu’il y a plusieurs manières d’écrire les nombres impairs impurs ou non premiers. Mais il y a une manière particulière d’écrire ces nombres qui nous donne aussi immédiatement l’expression des nombres impairs purs ou premiers.
Dans la base 2 de la représentation élienne, on peut écrire aussi les nombres impairs impurs ou non premiers de cette manière:
U(2,n,m) = 4nm + 2(n + m ) + 2sin2((n+m)pi/2) + (-1)n+m
V(2,n,m) = 4nm + 2(n – m) – 2sin2((n-m)pi/2) – (-1)n-m
n et m étant des nombres entiers naturels strictement positifs. Pour le cas de la suite V, il faut que nm >= 2.
Vérifions tout cela:
U(2,1,1) = 9; U(2,2,1) = 15; U(2,3,1) = 21; U(2,2,2) = 25; U(2,4,1) = 27; U(2,3,2) = 35
V(2,2,1) = 9; V(2,3,1) = 15; V(2,4,1) = 21; V(2,3,2) = 25; V(2,5,1) = 27
Cela marche parfaitement. Maintenant essayons de simplifier l’expression de U et de V en faisant disparaître les sinus et les puissances négatives. On obtient alors trois cas pour chaque suite.
Pour la suite U:
Si n et m sont tous pairs tel que n = 2x et m = 2y:
U(2,x,y) = 16xy + 4(x+y) +1
Si n et m sont tous impairs tel que n = 2x – 1 et m = 2y-1:
U(2,x,y) = 16xy – 4(x+y) + 1
Si n est pair et m impair tel que n = 2x et m = 2y-1:
U(2,x,y) = 16xy – 4(x-y) – 1
Pour la suite V:
Si n et m sont tous pairs tel que n = 2x et m = 2y:
V(2,x,y) = 16xy + 4(x-y) – 1
Si n et m sont tous impairs tel que n = 2x – 1 et m = 2y + 1:
V(2,x,y) = 16xy + 12(x-y) – 1
Si n = 2x et m = 2y-1:
V(2,x,y) = 16xy – 4(x+y) + 1
Ainsi nous pouvons faire de même pour les suites des nombres premiers suivantes:
P(2,n,m) = 4nm + 2(n + m ) + 2sin2((n+m)pi/2) – (-1)n+m
W(2,n,m) = 4nm + 2(n – m) – 2sin2((n-m)pi/2) + (-1)n-m
n et m étant des nombres entiers naturels strictement positifs. Pour le cas des suites W, il faut que nm >= 2 et n > m.
Vérifions tout cela:
P(2,1,1) = 7; W(2,2,1) = 7; P(2,2,1) = 17; W(2,2,2) = 17; P(2,3,1) = 19; W(2,3,1) = 17;
P(2,2,2) = 23; W(2,4,1) = 19; P(2,4,1) = 29; W(2,3,2) = 23; P(2,3,2) = 37; W(2,5,1) = 29;
P(2,5,1) = 31; W(2,4,2) = 37; P(2,4,2) = 43; W(2,4,3) = 41;
Ainsi à partir de la suite P et W des nombres premiers, nous pouvons déterminer la fonction de compte des nombres premiers impairs.
Pour la suite P(2,n,m), cette fonction R(2,n,m) donne le rang du nombre premier impair lorsque nm >= 2
R(2,n,m) = 2 + (2nm + n + m + sin2((n+m)pi/2))/2
Pour la suite W(2,n,m), avec nm >= 3, on a:
R(2,n,m) = 2 + (2nm + n – m – sin2((n-m)pi/2))/2
Le reste de mes recherches sera publié dans mon livre sur les nombres que j’essayerai de publier, livre intitulé » les nombres divins « .
Maranatha !!! Viens YHWH !!!
NB: Les petites corrections seront faites et seront publiées dans le livre sur les nombres.