Nous continuons. Nous avons trois possibilités : soit dans un premier cas
b = a – 1 et a = (e(e-1))b2 / (n + 1)
ou bien soit dans un deuxième cas
b = a(n+1) – 1 et a = j(j – 1)b2
ou bien soit dans un troisième cas
a = j(j-1)*b2 et a*(n + 1) = e(e-1)*b2
Ces trois conditions d’Abraham étant déterminées, revenons à l’équation caractéristique:
a*p2 + b*p – 1 – n = 0
En injectant les conditions d’Abraham dans l’équation caractéristique, nous trouvons:
dans le premier cas: a = (n+p+1)/(p(p+1)) et b = (n-p2+1)/(p(p+1)) sachant qu’il existe un entier naturel e >= 2 tel que p(p+1)(n+1)(n+1+p)/(n+1-p2)2 = e(e-1)
dans un deuxième cas: a =1/p et b = (n-p+1)/p sachant qu’il existe un entier naturel j >= 2 tel que p/(n-p+1)2=j(j-1)
dans le troisième cas: a = j(j-1)*b2
En examinant les trois cas, on voit que le deuxième cas est impossible car a et b sont des entiers naturels et 1/p n’est pas un entier et p/(n-p+1)2 n’est pas non plus un entier et le troisième cas est aussi à rejeter puisque cela n’apporte aucune nouvelle application, c’est comme si on disait simplement que 1 + 1 = 2, c’est toujours vrai.
Donc nous devons choisir a, b et p des entiers comme suit:
a = (n+p+1)/(p(p+1)) et b = a – 1
sachant que e = p(p+1)(n+1)(n+1+p)/(n+1-p2)2 est un nombre pair de la forme e=d(d+1).
Vérifions tous ces résultats d’un très long développement de calculs bizarres:
Pour p = 2, cela doit marcher, si cela ne marche pas c’est qu’il y a une erreur dans le développement. Mais pour p > 2, nous sommes dans une conjecture.
Prenons p = 2 et vérifions si le nombre n = 3 est un nombre impair non premier.
Si n = 3 est un nombre impair non premier alors il existe a, b et e tel que:
a = (n+p+1)/(p(p+1)) et b = a – 1
sachant que e = p(p+1)(n+1)(n+1+p)/(n+1-p2)2 est un nombre pair de la forme d(d-1)
Calculons donc tout cela:
nous avons a = 1 et b = 0 et e n’est pas défini cela donne une division par 0
Il n’existe pas un tel triplet d’entiers respectant la condition donc le nombre 3 est premier.
Vérifions avec p = 2 si le nombre n = 5 est premier:
Calculons:
nous avons a = 4/3, et b = 1/3 et e = 72
Il n’existe pas un triplet d’entiers respectant la condition donc le nombre 5 est premier
Vérifions avec p = 2 si le nombre n = 7 est premier:
Calculons:
nous avons a = 5/3, b = 2/3 et e = 30
Il n’existe pas un triplet d’entiers respectant la condition donc le nombre 7 est premier.
Vérifions avec p = 2 si le nombre n = 9 est premier:
Calculons:
nous avons a = 2, b = 1 et e = 20
Il existe un triplet d’entiers respectant la condition donc le nombre 9 n’est pas premier.
Vérifions avec p=2 si le nombre n = 11 est premier:
Calculons:
nous avons a = 7/3 , b = 4/3 et e = 63/4
Il n’existe pas un triplet d’entiers respectant la condition donc le nombre 11 est premier
Vérifions avec p = 2 si le nombre n = 13 est premier:
Calculons:
nous avons a = 8/3 , on peut s’arrêter là
Il n’existe pas un triplet d’entiers respectant la condition donc le nombre 13 est premier.
Vérifions avec p = 2 si le nombre n = 15 est premier:
Calculons:
nous avons a = 3, b = 2 et e = 12
Il existe un triplet d’entiers vérifiant la condition donc 15 n’est pas premier.
Ainsi nous voyons que cela marche parfaitement pour p = 2. Je vais vérifier cela aussi par un programme informatique sur de grands nombres pour être bien sûr.
Pour p > 2, nous sommes dans une conjecture, je n’ai pas encore vérifié cela sur l’ordinateur.
Récapitulons:
Critère de Moïse:
Nous avons le critère de Moïse qui dit que pour tout nombre k, s’il existe un couple (a, b) tel que a > b et a >= 2 et que le discriminant d’Élie D = b2 + 4a = d2 est un carré parfait et que k = 2a + b alors le nombre h = 2k – 1 est forcément un nombre entier impair non premier.
La généralisation du critère de Moïse (conjecture):
Pour tout nombre n, s’il existe un triplet (p, a, b) d’entiers naturels positifs tels que p étant un nombre pair et a > b, le discriminant d’Élie D = b2+4*a est un carré parfait et le super discriminant d’Élie est un carré parfait , et n = p(p*a + b) – 1, alors le nombre n n’est pas premier.
Conséquence du critère de Moïse:
Pour tester si le nombre n est premier, il faut vérifier la non existence de deux entiers naturels positifs a et e tel que:
a = (n+p+1)/(p(p+1)) et e = p(p+1)(n+1)(n+1+p)/(n+1-p2)2, e étant un nombre pair de la forme d(d-1)
Pour le test, il faut fixer par exemple p = 2 et calculer a et e sachant que b = a – 1. Pour p > 2, nous sommes dans une conjecture de généralisation du critère de Moïse. Je n’ai pas encore vérifié cela mais si la conjecture est vraie alors la généralisation du critère de Moïse montre que le critère ne dépend pas de p, il suffit de choisir un nombre pair tel que p2 < n + 1.
Maranatha !!!! Viens Seigneur Jésus !!!!!
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