Les nombres impairs non premiers (7)

Où en sommes nous dans notre recherche ? Nous avons vérifié que la formule U(n,m) est vrai et que le critère de Moïse avec le discriminant d’Élie est vrai. Maintenant nous pouvons à partir de la formule déduire un algorithme pour vérifier si un nombre impair est premier ou non.

Nous avons l’algorithme suivant:

Soit n un nombre impair. Nous avons n = 2k – 1. Donc k = (n+1)/2 .

En faisant varier p de 1 jusqu’à la partie entière de la racine carrée de k/2, si (k – 2p2)/(2p + 1) est égal à un entier a alors n n’est pas premier dans le cas contraire n est premier.

Exemple:

Soit le nombre n=12345691

Nous avons k = 6172846 et la partie entière de la racine carrée de k/2 est égale à 1756.

En faisant varier p de 1 à 1756, on trouve que dès p=29, nous avons (k – 2p2)/(2p + 1) = 104596.

D’où le nombre 12345691 n’est pas premier.

Nous en déduisons deux nombres qui décomposent 12345691. Ces deux nombres sont formés à partir de p=29 et de p+a-1 = 104596 + 29 – 1 = 104624

Nous avons alors 12345691 = (2*29+1)(2*104624+1) = 59*209249

Nous avons ainsi prouvé que le nombre 12345691 n’est pas premier et qu’il est décomposable en un produit de deux facteurs 59 et 209249.

Nous pouvons continuer la décomposition en décomposant aussi les facteurs 59 et 209249 jusqu’à ce qu’on atteigne des nombres premiers.

Nous continuerons dans la suite à améliorer l’algorithme pour le simplifier le plus possible, c’est à dire trouver le plus rapidement possible p et a.

Maranatha !!! Viens Seigneur Jésus !!!

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